第24部分

有五种，但这不是从五行推衍出来的，而是在数学内部加以证明的。

今天我们说到的数学，是洗去了象征的、纯粹的数之间的演算。从一个算式通往另一个算式是证明，或曰严格的演绎证明〔demonstration〕，而不可借助任何其他东西如象征、想象。证明方法在希腊最为发达，欧几里德几何学是最突出的成就，即使在今天，用《几何原本》来作初级教育的教科书也无大碍。像希腊思想的其他因素一样，数学对希腊人也是舶来品，来自巴比仑、埃及，但是，像其他舶来品一样，数学到了希腊，改变了自己的面貌。“从一开始，希腊数学同埃及、巴比仑的数学就有区别；……希腊几何学所追求的目标是抽象的几何知识、规范的推理和证明方法。”与之对照，如史蒂芬·巴克尔所言，“作为东方数学中的一种典型做法，巴比仑人、印度人和阿拉伯人并不怎么关心给出有关的证明来，更不必说把他们关于数的知识组织成公理化形式的系统了。”数学史家斯科特表达了相同的看法：“在整个东方数学中，任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们所称之为证明的那种东西。”斯科特接着引用Sedgwick　and　Tylor说，印度数学家对我们所说的数学方法是没有什么兴趣的。他这里说东方主要是指印度，但也包括中国：在同一章的最后他也说到，“在中国人手里，也像在印度人手里一样，数学这门学科并不是那么抽象的。”研究中国古代史的许倬云也说：“中国的数学发展就好像是为了作实际的四则杂题一样发展来的，并不是为了抽象的思考而发展的。”　他还说到十部算经里大约有3000道题目，“没有所谓推演、定理或公理……当时训练数学家的方式不管抽象思考，只管计算，通过这些训练的学生就成为算学博士，但算学博士的地位在所有官吏里最低，待遇也最差。筹算之士不能进入知识分子的阶层，不过与医师技工一般。”

获得这种自主性的数学成为一种自主的语言。语言和现实不是两种事物，可以类比：相似、相同、不同。语言是现实的一种呈现方式。对于自主的数学来说，自然现象不再通过类推的方式和数发生联系。欧几里德发现，光线在镜面上发生折射的时候，入射角等于反射角。这和一条几何定理相应：在一条直线〔XX’〕同一边的任意两个点A和B，经过该直线上的一点P相连，当∠APX＝∠BPX’，连线〔APB〕最短。

用克莱因81的图。

在这里，欧几里德并非发现有一种光学现象和一种几何现象相同，而是在表明，光的折

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